El problema de las tres cajas

LoJaume

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Bueno, como veo que hay aficionados a la Ciencia, expongo un problema sobre lógica y probabilidad muy interesante. Mañana explicaré la solución.

El caso es que en cierto concurso televisivo se presentan al concursante tres cajas y tiene que elegir una de ellas. En una caja hay un lingote de oro de 2 kilos, y en las otras dos hay una zanahoria.
El concursante elige una caja y antes de abrirla, el presentador -que obviamente sabe dónde está el oro y quiere hacerse el gracioso- abre una de las otras dos y saca una zanahoria.
En ese momento le propone al concursante si quiere cambiar su elección.

¿Cambia la probabilidad de encontrar el oro si el concursante cambia de caja? :pensativo


Razone su respuesta. ;)
 
Ya que nadie contesta:

La probabilidad de hecho se duplica si cambiamos de caja. Es fundamental el hecho de que el presentador conoce la caja del lingote y que abre una de las cajas con la zanahoria después de que el concursante elija su caja.
La probabilidad de elegir una caja y que esta contenga el lingote es de 1/3. Esta es nuestra probabilidad inicial. Las otras dos cajas están en un conjunto que tiene una probabilidad de 2/3 de contener el lingote. Como el presentador sabe dónde está, abre una de las cajas de la zanahoria. No puede ser la del concursante, entonces necesariamente tiene que ser de las dos restantes (el conjunto). Automáticamente la caja de la zanahoria pasa a tener una probabilidad de cero de contener el lingote pero la probabilidad del conjunto se mantiene. Como este conjunto sólo tiene un elemento, la caja, esta tiene una probabilidad de 2/3 de contener el lingote. Si cambiamos de opción a esa caja, tendremos una probabilidad de 2/3 de llevarnos el lingote, mientras que si no cambiamos de caja, seguiríamos teniendo una probabilidad de 1/3.
 
Yo creo que es mucho más sencillo que eso y que la probabilidad es de 50/50 ya que cuando se desvela el contenido de una caja con zanahoria, y el concursante puede elegir igualmente caja, la N de cajas pasa a ser de 2, lingote/zanahoria.

Cuento de la vieja:

Cajas A B C
El lingote está en A.

Situación 1: el concursante (CC) cambia de caja.
1. CC elige caja A. Presentador (PR) desvela caja B. CC cambia a caja C. CC pierde.
2. CC elige caja A. PR desvela caja C. CC cambia a caja B. CC pierde.
3. CC elige caja B. PR desvela caja C. CC cambia a caja A. CC se queda con el lingote.
4. CC elige caja C. PR desvela caja B. CC cambia a caja A. CC se queda con el lingote.

2 pierde vs 2 gana. 50%.

Situación 2: el concursante no cambia de caja.
1. CC elige caja A. Presentador (PR) desvela caja B. CC se queda con el lingote.
2. CC elige caja A. PR desvela caja C. CC se queda con el lingote.
3. CC elige caja B. PR desvela caja C. CC pierde.
4. CC elige caja C. PR desvela caja B. CC pierde.

2 gana vs 2 pierde. 50%.

Total: de 8 posibles escenarios, en 4 se queda con el lingote y en 4 se queda sin.
 
Yo creo que es mucho más sencillo que eso y que la probabilidad es de 50/50 ya que cuando se desvela el contenido de una caja con zanahoria, y el concursante puede elegir igualmente caja, la N de cajas pasa a ser de 2, lingote/zanahoria.

Sin embargo, tiene razón Dan. Cambiar de elección supone doblar las posibilidades de obtener el lingote. ;)
Cuando me propusieron el problema y la solución, a mí me pareció desconcertante y tardé un buen rato en entender la solución.
 
Última edición:
Yo creo que es mucho más sencillo que eso y que la probabilidad es de 50/50 ya que cuando se desvela el contenido de una caja con zanahoria, y el concursante puede elegir igualmente caja, la N de cajas pasa a ser de 2, lingote/zanahoria.

Sin embargo, tiene razón Dan. Cambiar de elección supone doblar las posibilidades de obtener el lingote. ;)
No, porque elegir caja sin abrirla cuando después te abren otra con zanahoria siempre, arroja el mismo porcentaje, 50/50. Cambiar de caja es situación 1 (50/50).
Elegir a priori tiene 1/3 de posibilidades de tocar lingote, pero si después te abren siempre una con zanahoria, la posibilidad siempre es del 50%. Es un juego a cara o cruz.
 
Incluso desarrollando un árbol de posibilidades en caso de querer abarcar todos los escenarios, salen un total de 36 teóricos resultados, de los cuales, 24 son factibles (por ejemplo, si eliges la caja A y el lingote está en B, siempre se desvelará el contenido de la caja C, nunca el contenido de la caja A porque es la elegida). De esos 24 escenarios factibles finales, los resultados se dividen exactamente en grupos de 6:

- 6 aciertos si no cambias de caja
- 6 aciertos si cambias de caja
- 6 fallos si no cambias de caja
- 6 fallos si cambias de caja

Da igual lo que hagas o donde esté el lingote. Las posibilidades son 50/50, es un juego a cara o cruz.
 
@Gorobei Pero es que el hecho de que el presentador abra una caja no es casual. Tiene que abrir una de las cajas con zanahoria. Se entiende mejor si en vez de tres, tienes cincuenta cajas y el presentador las abre todas menos dos, la que has elegido y otra más. ¿Te la jugarías con tu primera elección 1/50 o con la caja que ha dejado el presentador 49/50?
 
Pero es que en el momento en que abre todas las cajas menos dos, tu caja ya no tiene 1/50, tiene 1/2 de contener el lingote. Haz el árbol si quieres, o juega con alguien varias veces y verás.
 
@Gorobei Pero es que el hecho de que el presentador abra una caja no es casual. Tiene que abrir una de las cajas con zanahoria. Se entiende mejor si en vez de tres, tienes cincuenta cajas y el presentador las abre todas menos dos, la que has elegido y otra más. ¿Te la jugarías con tu primera elección 1/50 o con la caja que ha dejado el presentador 49/50?
Rectifico, porque sé a qué te refieres, y en el ejemplo de 50 cajas está claro que es mejor cambiar, pero con 3 da lo mismo, es 50/50. A partir de 4 sí es mejor cambiar.
 
Este es el llamado Problema de Monty Hall, en el que hay tres puertas, con un coche y dos cabras. Lo he cambiado un poco para evitar la tentación de tirar de Google. :juas


Este problema se presentó en la revista americana Parade por Marilyn Vos Savant, una mujer que tenía el record Guinness de coeficiente de inteligencia.
Muchos lectores de la columna de vos Savant se negaron a creer que el cambio sea beneficioso a pesar de su explicación. Después de que apareció el problema en Parade , aproximadamente 10,000 lectores, incluidos casi 1,000 con doctorados , escribieron a la revista, la mayoría de ellos alegando que vos Savant estaba equivocado ( Tierney 1991 ). Incluso cuando se les dan explicaciones, simulaciones y pruebas matemáticas formales, muchas personas todavía no aceptan que cambiar es la mejor estrategia ( vos Savant 1991a ). Paul Erdős , uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, permaneció poco convencido hasta que se le mostró una simulación por computadora que demostraba el resultado predicho ( Vazsonyi 1999 ).
 
Última edición:
He propuesto este problema a bastante gente, y a los que tienen un perfil científico (yo incluido) les cuesta mucho asimilar la solución. Yo me negaba en redondo a que cambiar de elección fuese beneficioso.
En cambio, gente menos científica lo pillan más rápido.
Es curioso.
 
La primera elección es 1/3, la segunda sería 1/2.

Si no cambias de caja continúas con tu probabilidad original. Si cambias de caja, combinando ambas probabilidades te resultará mejor que esa primera elección con 1/3.
 
La primera elección es 1/3, la segunda sería 1/2.

Si no cambias de caja continúas con tu probabilidad original. Si cambias de caja, combinando ambas probabilidades te resultará mejor que esa primera elección con 1/3.
Llevado a la realidad, los problemas de probabilidad solo tienen lógica real cuando se pueden jugar más de una vez. En todos los demás casos, de nada sirve.
 
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@LoJaume El problema es que ignoramos sistemáticamente la elección del presentador, que juega con ventaja. Al principio cuesta, y tiene razón @Gorobei en que la probabilidad de que el oro esté en una de las dos cajas es de 1/2, pero tu probabilidad de acertar no es esa, por eso es mejor cambiar de caja cuando se abren las cajas con zanahoria. A mi en su día me costó pillarlo hasta que hice la tabla. Si metes más cajas, ya se ve claramente.
 
Así es. La elección del presentador no es aleatoria, sino que tiene la certeza de que hay una zanahoria. Esto hace que esta probabilidad se acumule a la primera elección.

Por cierto, diría que esta situación se ha presentado en más de un concurso televisivo, y que el concursante ha mantenido la decisión inicial.
 
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Das por hecho que puedes meterlo... :lol

Si con acercar "el jocico" es suficiente..Esa cajas tienen que oler a "chotazo" que da gusto con esas zanohorias metidas ahí "desde vete a saber".

Ese es el principio de todo buen forero, identificar el "chotazo o piponazo" aunque no se haya catado...:digno
 
Este es el llamado Problema de Monty Hall, en el que hay tres puertas, con un coche y dos cabras. Lo he cambiado un poco para evitar la tentación de tirar de Google. :juas


Este problema se presentó en la revista americana Parade por Marilyn Vos Savant, una mujer que tenía el record Guinness de coeficiente de inteligencia.
Muchos lectores de la columna de vos Savant se negaron a creer que el cambio sea beneficioso a pesar de su explicación. Después de que apareció el problema en Parade , aproximadamente 10,000 lectores, incluidos casi 1,000 con doctorados , escribieron a la revista, la mayoría de ellos alegando que vos Savant estaba equivocado ( Tierney 1991 ). Incluso cuando se les dan explicaciones, simulaciones y pruebas matemáticas formales, muchas personas todavía no aceptan que cambiar es la mejor estrategia ( vos Savant 1991a ). Paul Erdős , uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, permaneció poco convencido hasta que se le mostró una simulación por computadora que demostraba el resultado predicho ( Vazsonyi 1999 ).
Jaja Yo soy Paul Erdös.

Me he puesto a hacer el árbol con 4 cajas y me salía lo mismo, y justo he caído en el fallo, y es que el número de resultados es 50/50 pero no todos se reparten las posibilidades por igual.

Las posibilidades de acertar quedándote con la caja original son del 16,66%, mientras que fallar tiene un riesgo del 33,33%. Si cambias tu caja original, tienes una posibilidad de acertar del 33,33% frente a un fallo del 16,66%.

Cada uno de los escenarios posibles tiene una posibilidad del 2,77% de suceder si eliges la caja buena en tu primera elección, frente a una posibilidad del 5,55% si eliges una caja mala.
 
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